“方向導數”這一部分內容是《高等數學》課程中的重點內容之一，傳統講法是直接給出方向導數的概念，然后分析方向導數和偏導數的關系，最后直接給出方向導數存在定理． 結果往往是學員學完本節內容后，對方向導數的實質是什么搞不明白，對函數在一點的偏導數存在性、沿任意方向的方向導數存在性及可微性之間的關系弄不清楚( 這是本節內容的重點和難點) ． 為了突出重點、化解難點，結合自己多年的教學實踐，就“方向導數”采用了問題牽引式教學法授課，教學效果良好，既讓學員理解和掌握了新知識，還增加了學員學習的興趣，培養了學員的創新思維能力．

1 問題牽引式教學法的內涵問題

牽引式教學法是基于前蘇聯教育家馬赫穆托夫提出的“問題教學法”演變而來的． 馬赫穆托夫反對只注重知識傳授的教學，要求引進科學實踐的方式，把解決課題或問題作為教學的基本過程． 他提出可以采用教員帶領學員解決課題，教員和學員共同解決問題和學員獨立探索解決問題的不同方式，使教學成為有明確目的、能發揮學員主觀能動性的過程．

問題牽引式教學法就是以“問題”牽引、為主線組織教學，即以問題為中心，學員為主體，教員為主導，在教學中教員把教學內容設計成一系列問題，圍繞知識點，層層設問，并指導和啟發學員圍繞“問題”積極思考，在一種問題氛圍中促使學員掌握要點、難點、注意事項，從而達到學習知識和啟迪思維的目的［1］．

2 《高等數學》課程引入問題牽引式教學法的必要性

《高等數學》作為我校各工科專業學員必修的一門基礎課程，其目標是培養學員的抽象思維能力、邏輯推理能力和自學能力，還要特別培養學員綜合運用所學知識去分析、解決問題的能力． 可是，我校約90% 的學員深受“傳遞－ 接受式”的教學方法的影響，養成了思維的惰性，只愿聽教員講，疏于動腦思考，認為“上學就是跟教員學，教員教什么，我就學什么，學會就行”． 長期以來，學員在整個教學過程中處于被動接受的狀態，學員的主動性、創造性難以激活，學員學習興趣不高，教學效率偏低，教員也無法全面了解和掌握學員學習心理全過程．

作為學習的主體，青年學員正處于世界觀、人生觀、價值觀的形成時期，思維活躍，好奇心強，喜歡發現問題，追根溯源，更喜歡在問題情境中有更多的參與和展示自己的機會［2］． 因此，在《高等數學》課程教學上，教員應鼓勵學員積極參與教學活動，既要思維參與，又要行為參與，那么，問題牽引式教學法就是達到這一目標的好方法．

我們知道學習并非是一種個體被動的吸收過程，而是一個以已有的知識和經驗為基礎的主動建構過程，是能動地建構新的認識圖式，不斷完整新認知結構的過程． 問題牽引式教學法通過調動師生積極開展雙向交流，可打破常規教學的沉悶氣氛，從而激發學員的學習興趣，變被動學習為主動學習，有利于培養學員獨立學習、批判性和創新性思維能力，讓學員在解決問題中實現自我提高．

3 《高等數學》課程應用問題牽引式教學法的課堂教學過程設計問題

牽引式教學法的課堂教學過程包括: 創設情景、引出問題→分析問題→解決問題( 即得出結論) 與提出新問題( 即留有疑問) ，學員思維處于螺旋上升狀態［3］． 具體教學過程如圖1 所示．

圖1 問題牽引式教學法教學過程示意圖4 問題牽引式教學法在“方向導數”中的具體實施過程首先是創設情景，引出問題． 問題牽引式教學法的關鍵是教員要創設合適的問題情景． 實踐證明，合適的問題情景能使學員的求知欲高漲，能充分調動學員的探索欲望和主觀能動性．

本節課是通過房屋屋頂雨水的流動引入方向導數的概念，即首先在PPT 上出現國家大劇院在雨中的美景，當學員們興致勃勃地欣賞這幅美景時，教員提出問題: 國家大劇院屋頂上的雨水是如何流下來的? 讓學員觀察、思考、討論后，教員告訴學員要解決這個問題，必須把問題量化，建立簡單的數學模型，由此引出引例．

引例［4］ 設一房屋的頂部是半橢球面，其方程為z = 4 1 － x216 － y2槡36，當無風的天氣下，求下雨時過房頂上點P( 1，3，槡11) 處的雨水流下的路線方程( 不計摩擦) ．

教員分析引例，提出問題: 雨水是沿什么方向流下的? 讓學員討論后給出結論． 學員的回答是: 雨水沿著最容易流、最好流、流的最快的方向流下來． 此時教員既要鼓勵學員的回答是正確的，還要強調學員的回答全是“口語”，需要用“數學語言”來表述，即雨水是沿著函數z 下降最快的方向流下來． 教員繼續解釋下降最快的方向就是減小最快的方向． 緊接著教員提出問題: 如何描述函數在一點沿著某個方向變化的快慢呢? 教員啟發學員思考并提出問題: 變化的快慢就是變化率問題，如何描述變化率呢? 學員的回答是: 導數和偏導數． 教員引導學員回憶導數和偏導數的實質，然后進行解釋: 用方向導數來刻化函數沿著某個方向變化的快慢． 這樣就引出了方向導數的概念，既避免了直接給出方向導數概念的抽象性，還為學員理解方向導數的實質、掌握方向導數的應用奠定了基礎．

定義［5］ 設函數z = f( x，y ) 在點P0( x0，y0) 的某鄰域U( P0) Ｒ2 內有定義，l→為從點P0出發的射線( 方向角為α，β) ，P( x，y ) 為l→上且含于U( P0) 的任一點，以ρ 表示P 與P0兩點間的距離． 若極限limρ→0 +f( x0 + ρcosα，y0 + ρcosβ) － f( x0，y0)ρ存在，則稱此極限為函數z = f( x，y) 在點P0處沿方向l→的方向導數，記作fl→( x0，y0)．

教員繼續分析方向導數的概念及實質，然后提出問題: 方向導數和偏導數均是反映的變化率問題，那么它們之間是否存在著某種關系呢? 學員的回答是: 可能有，也可能沒有． 此時教員給出解釋，并提出問題: 當方向l→分別取為x 軸的正向和負向時，函數z = f( x，y) 在點P0處沿方向l→的方向導數是什么?讓學員思考后寫出自己的結果，然后教員讓學員相互點評他們的結果，最后教員給出評價． 這個讓學員參與的過程，既讓學員掌握了知識，還活躍了課堂氣__氛，增加了學員學習數學的興趣． 此時教員繼續提出問題: 如果函數在該點的偏導數存在，情形又如何?讓學員思考、討論后給出結論，教員進行總結: 如果函數在一點的偏導數存在，則函數在該點沿坐標軸方向的方向導數均是存在的．

及時進行總結是教學的一個重要環節，也是學員學習的一個重要方法，通過總結可以使所獲得的知識條理化、系統化．

教員引導學員回憶引例，然后提出問題: 雨水是沿著函數z 下降最快的方向流下來的，那么這個下降最快的方向一定是坐標軸方向嗎? 學員回答: 不一定． 教員進行分析并提出問題: 我們知道偏導數存在能保證沿坐標軸方向的方向導數均存在，那么偏導數存在能保證沿任意方向的方向導數均存在嗎?讓學員思考、討論后給出答案，學員的回答是: 能、不一定、一定能． 此時教員給出正確答案，并給出具體的例子加以解釋．

例1［6］ 討論函數z = f ( x，y ) =1， xy≠0，x + y， xy = 0 { ，在( 0，0) 點的偏導數的存在性及沿任意方向的方向導數的存在性．

解fx( 0，0) = lim Δx→0f( Δx，0 ) － f( 0，0)Δx =lim Δx→0Δx － 0Δx = 1 = fy( 0，0)當方向l→滿足xy ≠0 時，由于fl→( 0，0)= limρ→0 +f( ρcosα，ρcosβ) － f( 0，0)ρ= limρ→0 +1 － 0ρ極限不存在，因此方向導數存在．

到此教員引導學員進行總結: 偏導數存在只能保證沿坐標軸方向的方向導數存在，沿任意方向的方向導數不一定存在． 此時教員追問: 那么函數滿足什么條件才能保證沿任意方向的方向導數均存在呢? 教員引導學員進行分析并提出問題: 能否給偏導數存在加強條件，使其保證沿任意方向的方向導數均存在? 讓學員思考后給出答案，學員的回答是:應該可以吧． 此時教員追問: 加強什么條件呢? 學員回答: 加強到可微、加強到偏導數連續． 教員給出解釋并帶領學員從理論上進行分析，在分析的過程也可以提出問題，如函數在一點可微是什么意思? 如何用數學語言來表述? 這里的Δx、Δy 是什么等等，既讓學員鞏固了舊知識還培養了學員數學表達能力．

分析因為函數z = f( x，y ) 在點P( x0，y0) 處可微，所以Δz = f( x0 + Δx，y0 + Δy) － f( x0，y0)= fx( x0，y0) Δx + fy( x0，y0) Δy + o( ρ)設方向l→是任意方向，則fl→( x0，y0)= limρ→0 +f( x0 + ρcosα，y0 + ρcosβ) － f( x0，y0)ρ= limρ→0 +fx( x0，y0) ρcosα +fy( x0，y0) ρcosβ +o( ρ)ρ= fx( x0，y0) cosα + fy( x0，y0) cosβ得到等式后，教員引導學員進行總結，并以定理的形式給出上述結論．

定理［7］ 若函數z = f( x，y ) 在點P0( x0，y0) 可微分，則函數在該點沿任意方向l→的方向導數都存在，且fl→P0= fx( x0，y0) cosα + fy( x0，y0) cosβ其中cosα，c osβ 是方向l→的方向余弦．

教員繼續分析定理，強調可微是函數沿任意方向的方向導數存在的充分條件，并提出問題: 可微是函數在一點沿任意方向的方向導數存在的必要條件嗎? 讓學員討論、思考后給出答案，學員的回答是:可能是、不是． 教員給出結論，并通過例子加以解釋．

這個例子教員可以通過啟發學員，讓學員自己構造出來．

例2 討論函數z = f( x，y) = 槡x2 + y2 在( 0，0) 點沿任意方向的方向導數的存在性及可微性．

解設方向l→是任意方向，則fl→( 0，0)= limρ→0 +f( ρcosα，ρ cosβ) － f( 0，0)ρ= limρ→0 +槡ρ2ρ = 1即函數在( 0，0) 點沿任意方向的方向導數均是存在的．

因為fx( 0，0) = lim Δx→0f( Δx，0 ) － f( 0，0)Δx = lim Δx→0槡( Δx) 2Δx即極限不存在，所以偏導數不存在，因此函數在( 0，0) 點不可微．

由此教員引導學員進行總結: 可微是函數在一點沿任意方向的方向導數存在的一個充分非必要條件． 教員繼續提出問題: 由例2 還能得到什么結論呢? 讓學員觀察、討論、思考后給出答案，教員加以肯定: 函數在一點沿任意方向的方向導數均存在，也不能保證偏導數存在． 此時教員讓學員總結函數在一點沿任意方向的方向導數的存在性、偏導數的存在性及可微性之間的關系，便于學員理解和記憶，教員可以讓學員建立它們之間的比較表。

圖2 幾個概念間的關系教員繼續引導學員回憶引例，然后提出問題: 函數在一點沿什么方向的方向導數最小? 讓學員觀察、討論、思考后給出答案，學員的回答是: 依據計算公式，利用和差化積公式，即fl→P0= fx( x0，y0) cosα + fy( x0，y0) cosβ= Asin( α + φ)當α、φ 滿足sin( α + φ) = － 1 時，方向導數最小．

教員要尊重學員的想法，既要鼓勵學員方法是可行的，同時又提出問題: 如果點P0( x0，y0) 不是某一定點，而是任意一點P( x，y) ，上述方法還可行嗎? 學員回答: 不可行． 此時教員追問: 那怎么辦?讓學員討論后，教員給出分析:分析令G→= ( fx( x0，y0) ，f y( x0，y0) ) ，l 0 =( cosα，cosβ) ，則fl→P0= fx( x0，y0) cosα + fy( x0，y0) cosβ= G→·l 0 = G→ cosθ其中θ 是向量G→與l 0 的夾角． 即函數在一點處沿與向量G→反方向的方向導數最小，且最小值就是向量G→的模的相反數．

此時教員告訴學員，由此就可以解決雨水流下路線問題了． 教員帶領學員解決引例，求得雨水流下路線方程是z = 4 1 － x216 － y2槡36y = 3x { 49．

為了使學員更直觀的觀察雨水流下路線，我們又借助數學軟件Matlab 畫出了雨水流下路線． 通過增加這一教學環節，使得數學教學變得更加生動有趣，還能培養學員幾何直觀能力及結合計算機解決問題的能力．

到此，本節內容基本結束，在本課堂的結尾，我們并未沿襲傳統的教學模式———簡單總結課堂內容，而是在總結內容的基礎上，提出新的問題: 如何對n( n≥3) 元函數定義方向導數?二元函數方向導數的存在性能否推廣到n( n≥3) 元函數? 函數在一點沿什么方向的方向“導數”最大? 函數在一點沿什么方向幾乎不變? 通過這些問題達到將教學內容延伸的目的，以便培養學員自主學習和鉆研的習慣和能力．

教學中，我們既借助了多媒體教學的優勢，又不拼棄板書教學，最后留在黑板的是穿起本節內容的一條問題線，即所謂的問題牽引線，板書提綱見圖3．

圖3 方向導數板書提綱5 使用問題牽引式教學法應注意的幾個問題5. 1 選好“問題”是關鍵在問題牽引式教學法中問題的設置非常重要，如果教員能在課堂上巧妙地提出有思考價值的問題，就好比一把金鑰匙，開啟了學員的智慧大門，一顆火種，點燃了學員的活躍思維．要設計恰如其分的問題需要注意三點: 一是問題的難易程度要適中，即要恰好落在學員認知的最近發展區; 二是問題要體現出教材的重點、難點、疑點和關鍵點以及知識形成的框架; 三是問題的提出要科學、正確、清楚，不能含糊其辭、模棱兩可． 總之，教員提出的問題既要符合學員的認知規律和能力，由易到難呈現給學員，又要__遵循有關的認知理論，理清知識之間的內在關系，循序漸進地展示給學員［2］．

5. 2 教員要給學員創造“機會”

平等、民主的師生關系是實施問題牽引式教學法的前提，教員必須以學員為本，通過營造一種積極、和諧、愉快、活潑的教學氛圍，消除學員的緊張感、拘束感和戒備心理，注重用問題來引導學員，使其始終處于“若有所思”的狀態，做到學、疑、思相結合，從而調動學員探究問題的積極性，真正實現學員的知識建構． 在實施中，教員要專心傾聽學員對問題的分析看法，當學員疑慮時，要以信任的眼神鼓勵學員說下去，切忌漫不經心，影響學員的熱情．

6 結語

德國教育家第斯多惠說: 教員的藝術不再于傳授本領，而在于激勵、喚醒、鼓舞［2］． 問題牽引式教學法正是這一思想的完美體現． 由于問題牽引式教學法以問題為中心，課堂出現的是一個又一個要解決的問題，教員引導學員進行探索，教員的角色由單純的施教者轉變為教學活動的組織者、指導者、參與者; 每個學員都能參與解決問題的全過程，學員的角色由被動聽講、被動接受者轉變為積極參與、合作交流的主體者，最后使學員獲得了與所給問題的相關知識，既加深了對知識的理解和掌握，又極大地增加了學員學習數學的積極性和主動性． 但問題牽引式教學法不是萬能的，不是所有的課程、所有的內容都可以運用問題牽引式教學法，只有用得恰當到位，才能最大化地發揮積極作用．